Luas Segitiga dengan Trigonometri dan Aturan Sinus serta Aturan Cosinus

 1. Luas Segitiga dengan Trigonometri

Sebagaimana telah kita pelajari bahwa luas suatu segitiga dapat diperoleh dengan mengalikan alas dan tinggi dari segitiga tersebut dan kemudian membaginya dengan 2, atau dapat dituliskan sebagai

Selain menggunakan rumus di atas, luas segitiga tersebut juga dapat diperoleh dengan menggunakan rumus aturan trigonometri. Untuk penjelasannya, amatilah segitiga ABC berikut!

Gambar 1 Segitiga ABC dengan sudut dan sisi-sisinya

Perhatikan bahwa segitiga ABC pada Gambar 1 terbagi lagi menjadi dua segitiga yakni 

$Perhatikan\; bahwa\; segitiga\; ABC\; pada\; Gambar\; 1\; terbagi\; lagi\; menjadi\; dua\; segitiga\; yakni\Delta$ADC dan $\Delta BDC$. Pada $\Delta ADC$, kita peroleh

Dengan demikian,

Jadi, luas $L\Delta ABC$ dapat dinyatakan sebagai

Dengan cara yang sama, untuk setiap segitiga ABC juga berlaku:

2. Aturan Sinus

Aturan sinus berbunyi bahwa perbandingan panjang sisi sebuah segitiga dengan sinus sudut yang menghadapnya memiliki nilai yang sama.

Lebih jelasnya pada gambar dibawah ini

Keterangan

• A = besar sudut di hadapan sisi a
• a = panjang sisi a
• B = besar sudut di hadapan sisi b
• b = panjang sisi b
• C = besar sudut di hadapan sisi c
• c = panjang sisi c
• AP ┴ BC
• BQ ┴ AC
• CR ┴ AB

Perhatikan segitiga ACR

Sin A = CR/b  maka CR = b sin A …(1)

Perhatikan segitiga BCR

Sin B = CR/a  maka CR = a sin B …. (2)

Perhatikan segitiga ABP

Sin B = AP/c  maka AP = c sin B … (3)

Perhatikan segitiga APC

Sin C = AP/b  maka AP = b sin C …(4)

Berdasarkan persamaan (1) dan (2) didapat

CR = b sin A = a sin B maka a/sin A = b/sin B …(5)

Berdasarkan persamaan (3) dan (4) didapat

AP = c sin B = b sin C maka b/sin B = c/sin C …(6)

Kemudian, berdasarkan persamaan (5) dan (6) diperoleh

 a/sin A = b/sin B = c/sin C

Persamaan ini yang kemudian disebut dengan aturan sinus.

3. Aturan Cosinus

Aturan cosinus menjelaskan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai cosinus dari salah satu sudut pada segitiga.

Lebih jelasnya pada gambar dibawah ini.

Keterangan

• A = besar sudut di hadapan sisi a
• a = panjang sisi a
• B = besar sudut di hadapan sisi b
• b = panjang sisi b
• C = besar sudut di hadapan sisi c
• c = panjang sisi c
• AP ┴ BC
• BQ ┴ AC
• CR ┴ AB

Perhatikan segitiga BCR

Sin B = CR/a maka CR = a sin B

Perhatikan segitiga ACR

b2  = AR2 + CR2

b2  = (c – a cos B)2 + (a sin B)2

b2  = c2 – 2ac cos B + a2 cos2 B + a2 sin2 B

b2  = c2 – 2ac cos B + a2 (cos2 B + sin2 B)

b2  = c2 + a2– 2ac cos BCos B = BR/a maka BR = a cos B

AR = AB – BR = c – a cos B

Menggunakan analogi yang sama, kemudian diperoleh aturan cosinus untuk segitiga ABC sebagai berikut

a2 = c2 + b2– 2bc cos A

b2 = a2+ c2 – 2ac cos B

c2 = a2+ b2 – 2ab cos C

daftar pustaka

https://jagostat.com/matematika-dasar/luas-segitiga-dengan-aturan-trigonometri/

https://rumuspintar.com/aturan-sinus-cosinus/

https://rumuspintar.com/aturan-sinus-cosinus/